Дек 27

Математический анализ прецессионных угловых ускорений

Стоун и Летко вывели уравнения, описывающие эффекты углового ускорения и угловой скорости при вращении вокруг двух осей. Оригинальная статья этих авторов была переработана профессором Т. Л. Патерсоном профессором Т. Л. Паттманом с участием доктора Стоуна и приводится здесь с их разрешения.

Рис. 3. Анатомо-математические оси координат – угловые ускорения (АА) и инерционные вращательные силы (IAR)

Правило правой руки, приложенное к истинной системе отсчета (угловые ускорения) и системе инерционных (реактивных) сил. Следует отметить, что координатные оси обеих систем имеют противоположные направления, за исключением оси Y.

Обозначения и термины

«Nodding» 4 – вращение головы вокруг оси Y (рис. 3),

«Turning» 4 – вращение головы вокруг оси Z (рис. 3),

«Rolling» 4 – вращение головы вокруг оси X (рис. 3),

α – составляющая углового ускорения при вращении вокруг оси Y,

α – составляющая углового ускорения при вращении вокруг оси Z,

α – составляющая углового ускорения при вращении вокруг оси X;

α = ʃ αdt, α = ʃ αdt, α = ʃ αdt,

ω – угловая скорость вращения головы в сагиттальной плоскости отдельно или вместе со всем телом5,

ω – угловая скорость вращения вокруг продольной оси тела5,

ω – угловая скорость вращения головы или тела во фронтальной плоскости5,

ωV – угловая скорость вращения корабля,

ωhx – полная угловая скорость вращения головы вокруг оси X,

ωhy – полная угловая скорость вращения головы вокруг оси Y,

ωhz – полная угловая скорость вращения головы вокруг оси Z,

t– время;

θG = ʃʃ αdt2, ψG = ʃʃ αdt2, φG = ʃʃ αdt2

θn – угловое смещение головы вокруг оси Y,

ψn – угловое смещение головы вокруг оси Z,

φn – угловое смещение головы вокруг оси X,

φe, θe, ψe – углы Эйлера соответственно осям вращения (углы Эйлера определяют одно из положений осей относительно другого и используются в качестве классического метода преобразования),

θsc – угол наклона назад полукружных каналов в плоскости XbYb,

φsc – угол поворота полукружных каналов от плоскости XbYb,

X, Y, Z – инерционные пространственные оси,

xb, yb, zb – оси тела.

4 Дословный перевод: «клевание», «поворачивание», «кручение».

5 Имеется в виду угловое смещение головы, которое может возникнуть вследствие движения шеи, плеч или наклона всего тела.

Сокращения:

lr, ll – правый и левый латеральный каналы (соответственно),

pr, pl – правый и левый задний каналы (соответственно),

ar, al – правый и левый передний каналы (соответственно).

Оси головы, использованные Стоуном и Летко:

x – направление от центра головы вперед к носу,

у – направление вбок к левому уху,

z – направление вниз от головы к ногам.

Эти оси головы представляют частную прямоугольную систему координат. Отрицательная часть каждой оси имеет противоположный смысл и направление по сравнению с положительной.

Оси полукружных каналов

Уравнения (21–26) и (27–32) относятся к собственным осям полукружных каналов. Вектор любого ускорения в этих уравнениях представляет собой вектор углового ускорения, перпендикулярного к плоскости рассматриваемого канала. Углы в этих уравнениях представляют преобразования системы координат головы в систему координат каналов.

Точка над символом обозначает первую производную по времени.

Уравнения полной угловой скорости головы представляют сумму различных действующих угловых скоростей:

ωhx = ω + ωV cosθe cosψe                        (3)

ωhy = ω + ωV cosθe sinψe                         (4)

ωhz = ω + ωV sinθe                                  (5)

где ωV, т. e. угловая скорость вращения корабля, считается постоянной.

Дифференцирование уравнений (3–5) по времени дает угловые ускорения, возникающие при движении головы, где

представляют угловые ускорения головы в инерциальном пространстве (ускорения, которые возбуждают полукружные каналы)

представляют угловые ускорения головы в соответствующих плоскостях вращения

Используя принципы классической механики, скорости изменений углов Эйлера в уравнениях (6–8) можно рассчитать следующим образом:

Подстановка уравнений (9–11) в уравнения (6–8) дает общее выражение для полного углового ускорения, которое будет возникать при любой ориентации и любом движении головы в процессе вращения корабля с постоянной угловой скоростью:

Если корабль не вращается (ωv = 0), то уравнения упрощаются

Если уравнения (15–17) вычесть из уравнений (12–14), то полученные результаты представляют систему выражений для определения ускорений, возникающих в результате вращения корабля. Эти ускорения обозначены Стоуном и Летко как «взаимноперекрестные угловые ускорения» или «угловые ускорения Кориолиса» и могут быть представлены уравнениями:

Как полагает большинство исследователей, именно прецессионные угловые ускорения, будучи чисто физическим раздражителем полукружных каналов, и являются первичной причиной вестибулярных расстройств, наблюдаемых при вращении корабля. Следует отметить, что мгновенная угловая скорость в этих уравнениях (ω) необязательно связана с угловым ускорением и может рассматриваться как момент вращения с постоянной угловой скоростью. Таким образом, тот факт, что прецессионные угловые ускорения (α) возникают в результате «взаимно-перекрестного» эффекта при постоянной угловой скорости, вращения вокруг двух осей и более, имеет исключительно важное и принципиальное значение.

Похожие статьи:

  1. Отолитовый аппарат во время вращения (К вопросу о взаимодействии отолитового и купулярного аппаратов при двойном...
  2. Вращательные силы и угловые ускорения Кориолиса В медленно вращающейся комнате, закрепленной на оси вращения вертикально по...
  3. Угловые ускорения Кориолиса и прецессионные угловые ускорения В начале прошлого столетия французский инженер и математик Г. Г....

автор admin



Написать ответ

Вы должны войти чтобы комментировать.